Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于M，N，則當

MN

BN

最小時，CN=

5 -1

2

．

Answer 1

分析：通過三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范圍，然后求解即可求得結論．

解答：解：易證△AOM≌△CON，則AM=CN=x
設CN=x，經過點N作NE⊥AB
則四邊形NEBC為矩形
∴NE=BC=1，BE=CN=x
則ME=（1-x）-x=1-2x（或2x-1）
∴MN²=EM²+EN²=2-4x+4x²
BN²=BC²+CN²=1+x²
令2-4x+4x²=t（1+x²），整理
﹙t-4﹚x²+4x+t-2=0有實根
∴16-4（t-4）（t-2）≧0
解得：3-

5

≤t≤3+

5

∴當

MN

BN

取最小值時，
即t取最小值3-

5

，x=

5 -1

2

即CN=

5 -1

2

，
故答案為：

5 -1

2

點評：本題考查學生分析解決問題的能力，考查學生的探究能力，屬于中檔題．