Question

已知函數，a∈R．
（1）當a=1時，求函數f（x）的最大值；
（2）如果對于區間上的任意一個x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）結合函數解析式的結構特征對函數進行配方可得，進而得到函數的最大值．
（2）根據函數解析式的特征對函數進行配方可得，結合函數的定義域進行換元可得二次函數，即可利用二次函數的性質求出函數的最值，進而解決恒成立問題．
解答：解：（1）由題意可得：．
所以當時，函數f（x）的最大值是．
（2）．
當時，0≤cosx≤1，令t=cosx，則0≤t≤1．
，0≤t≤1．
當，即0≤a≤2時，則當，即時，
，
解得，
則；  
當，即a＜0時，則當t=0即cosx=0時，
，
解得，
則a＜0．
當，即a＞2時，則當t=1即cosx=1時，
，
解得，無解．
綜上可知，a的取值范圍．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二次函數的有關性質，二次函數的對稱軸與區間的位置關系可以確定函數的最值．