Question

已知中心在原點的橢圓C：的一個焦點為F₁(0,3)，M(x,4)(x＞0)為橢圓C上一點，△MOF₁的面積為.
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1） （2） 符合題意的直線存在，且所求的直線的方程為或.

解析試題分析：（1） 求橢圓C的方程，根據橢圓的焦點為，可得橢圓的方程為，利用橢圓上一點，利用的面積為，可求出的坐標，將的坐標代入橢圓的方程，即可確定橢圓的方程；（2） 這是探索性命題，可假設存在符合題意的直線l存在，設直線方程代入橢圓方程，消去y，可得一元二次方程，利用韋達定理，結合以線段AB為直徑的圓恰好經過原點，得，利用即可求得結論．
試題解析：（1） 因為橢圓C的一個焦點為F₁(0,3)，
所以b²＝a²＋9.
則橢圓C的方程為＋＝1.
因為x＞0，所以＝×3×x＝，解得x＝1.
故點M的坐標為(1,4)．
因為M(1,4)在橢圓上，
所以＋＝1，得a⁴－8a²－9＝0，解得a²＝9或a²＝－1(不合題意，舍去)，
則b²＝9＋9＝18，所以橢圓C的方程為.       6分
（2） 假設存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)兩點，
其方程為y＝4x＋m(因為直線OM的斜率k＝4)．
由消去y化簡得18x²＋8mx＋m²－18＝0.
進而得到x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.
因為直線l與橢圓C相交于A，B兩點，
所以Δ＝(8m)²－4×18×(m²－18)＞0，
化簡得m²＜162，解得－9＜m＜9.
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過原點，所以＝0，
所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.
又y₁y₂＝(4x₁＋m)(4x₂＋m)＝16x₁x₂＋4m(x₁＋x₂)＋m²，
x₁x₂＋y₁y₂＝17x₁x₂＋4m(x₁＋x₂)＋m²＝－＋m²＝0.
解得m＝±.
由于±∈(－9，9)，
所以符合題意的直線l存在，且所求的直線l的方程為y＝4x＋或y＝4x－.    13分
考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．