Question

已知函數f(x)=x+log₂(x∈(0,3)).

(1)求證:f(x)+f(3-x)為定值;

(2)記S(n)=(1+)(n∈N^*),求S(n);

(3)若函數f(x)的圖象與直線x=1,x=2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S,試探究S(n)與S的大小關系.

Answer 1

(1)證明:f(x)+f(3-x)=x+log₂ +3-x+log₂=3.

∴f(x)+f(3-x)為定值3.

(2)解:∵1++1+=3,

f()=［f(x)+f(3-x)］=,

∴f(1+)+f(1+)+…+f(1+)+…+f(1+)

=3×(2^n-1-1)+f()

=3·2^n-1-.

∴S(n)=(3·2^n-1-)=-.

(3)解:S=f(x)dx=xdx+log₂xdx-log₂(3-x)dx

=xdx=.

∴S(n)-S=--=＜0.

∴S(n)＜S恒成立.