Question

【題目】求所有的正整數、，使得是完全平方數．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由

.

設，）．則

．

又.

設．則

.

于是，是完全平方數．

下面證明：不存在互質的正整數，，使得是完全平方數．

假設存在，不妨設是滿足上述要求且使得其和最小的一組正整數．

因

，

且，知、不能同為偶數，所以，是奇數．

故

.

于是，與都是完全平方數．

由于與都是奇數，故可設

，

．

從而，，且．

于是，，一奇一偶（不妨設是偶數）．

記，，，（、、、為兩兩互質的正整數，且、都是奇數）．由對稱性不妨設．

則由，得

.

又，，整理得

（1）若則

因為是奇數，所以，由，知是偶數，是奇數．

于是，，矛盾．

（2）由

．

又是奇數，可設

，，．

代入，得．

故正整數對使得是完全平方數．

由于，這與的最小性矛盾．

（3）由

，這與矛盾．

（4）由

，

這與矛盾．

綜上，不存在互質的正整數、，使得是完全平方數．

故不存在正整數、，使得是完全平方數．