Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.

方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.

若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為.

假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.

（1）若，試求p關于k的函數關系式；

（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數，

滿足且（）都有成立.

（i）求證：數列等比數列；

（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求k的最大值

Answer 1

【答案】（1），（，且）.（2）（i）見解析（ii）最大值為4.

【解析】

（1）由題設可知，的所有可能取值為1，，求，再根據,求；

（2）（ⅰ）當時，，∴，令，則，

利用數學歸納法證明；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，由可知，再設函數（），利用函數的單調性求的最大值.

（1）解：由已知，，，得，

的所有可能取值為1，，

∴，.

∴.

若，則，，∴，∴.

∴p關于k的函數關系式為，（，且）.

（2）（i）∵證明：當時，，∴，令，則，

∵，∴下面證明對任意的正整數n，.

①當，2時，顯然成立；

②假設對任意的時，，下面證明時，；

由題意，得，∴，

∴，，

∴，.

∴或（負值舍去）.∴成立.

∴由①②可知，為等比數列，.

（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.

設（），，∴當時，，即在上單調減.

又，，∴；，.∴.

∴k的最大值為4.