Question

（本題11分）如圖1，拋物線y=ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點的坐標為（3,0）

（1）求拋物線的解析式

（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中E點的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則軸上是否存在一點H，使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及G、H的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）如圖3，拋物線上是否存在一點，過點作軸的垂線，垂足為，過點作直線，交線段于點，連接，使～，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

       圖1                        圖2                          圖3

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設所求拋物線的解析式為：，依題意，將點B（3，0）代入，得  解得：a＝－1 ∴所求拋物線的解析式為：

    （2）如圖6，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關于x軸對稱，

    在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF＝HI…………………①

    設過A、E兩點的一次函數解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

    ∵點E在拋物線上且點E的橫坐標為2，將x＝2代入拋物線，得

   

    ∴點E坐標為（2，3）

    又∵拋物線圖像分別與x軸、y軸交于點A、B、D

  

 ∴當y＝0時，，∴x＝－1或x＝3

    當x＝0時，y＝－1＋4＝3,

    ∴點A（－1，0），點B（3，0），點D（0，3） 

    又∵拋物線的對稱軸為：直線x＝1，   

    ∴點D與點E關于PQ對稱，GD＝GE…………………②  

分別將點A（－1，0）、點E（2，3）代入y＝kx＋b，得：   

   解得： 

過A、E兩點的一次函數解析式為：y＝x＋1

    ∴當x＝0時，y＝1  

∴點F坐標為（0，1）

∴=2………………………………………③   

  又∵點F與點I關于x軸對稱，  

    ∴點I坐標為（0，－1）   

    ∴………④

  又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，

    ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

    由圖形的對稱性和①、②、③，可知，

    DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

    只有當EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小

    設過E（2，3）、I（0，－1）兩點的函數解析式為：，

分別將點E（2，3）、點I（0，－1）代入，得：

     解得：

    過I、E兩點的一次函數解析式為：y＝2x－1

    ∴當x＝1時，y＝1；當y＝0時，x＝；  

    ∴點G坐標為（1，1），點H坐標為（，0）

    ∴四邊形DFHG的周長最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

    由③和④，可知：

    DF＋EI＝

∴四邊形DFHG的周長最小為。 

（3）如圖7，

 

由題意可知，∠NMD＝∠MDB，  

    要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，

    即：………………………………⑤

設點M的坐標為（a，0），由MN∥BD，可得  

  △AMN∽△ABD，

    ∴

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4

 ∴

 ∵，

 ∴⑤式可寫成：  

解得 或（不合題意，舍去）∴點M的坐標為（，0）

又∵點T在拋物線圖像上，

 ∴當x＝時，y＝∴點T的坐標為（，）.

 

【解析】略