Question

某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽出60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數在[70，80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（II）若從60名學生中隨機抽取2人，抽到的學生成績在[40，60）記0分，在[60，80）記1分，在[80，100]記2分，用ξ表示抽取結束后的總記分，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據概率之和為1，即頻率分布直方圖的面積之和為1，即可求出分數在[70，80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖．
（II）從60名學生中隨抽取2人，根據題意總記分可能為0、1、2、3、4．求出相應的概率，即可求得分布列和期望．

解答：解：（I）設分數在[70，80）內的頻率為x，根據頻率分布直方圖，
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示．
（II）學生成績在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4．
則P(ξ=0)=

C 2 15

C 2 60

=

7

118

；P(ξ=1)=

C 1 15 C 1 27

C 2 60

=

27

118

； P(ξ=2)=

C 1 15 C 1 18 + C 2 27

C 2 60

=

207

590

；P(ξ=3)=

C 1 27 C 1 18

C 2 60

=

81

295

；P(ξ=4)=

C 2 18

C 2 60

=

51

590

．
所以ξ的分布列為：

∴Eξ=0×

7

118

+1×

27

118

+2×

207

590

+3×

81

295

+4×

51

590

=2.1．

點評：此題把統計和概率結合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．