Question

【題目】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最大值為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(與不重合)，則直線與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫(xiě)出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）由題意可得，，設(shè)，根據(jù)的最大值可得，從而得到橢圓的方程．（2）將直線方程代入橢圓方程消去x后得到關(guān)于的二次方程，設(shè)，，則，則可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方和為，令，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可得直線與軸交于定點(diǎn)．

詳解：（1）由題意得，，，

∴，．

設(shè)，則

，

∵，

∴當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1，

即，解得，

故所求的橢圓方程為．

（2）由得消去x整理得，

顯然．

設(shè)，，則，

故，.

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線方和為，

令，則，

又，，

∴，

即當(dāng)．

∴直線與軸交于定點(diǎn)．