Question

（12分）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點，

（1）求證：平面A B₁D₁∥平面EFG;
（2）求證：平面AA₁C⊥面EFG.
（3）求異面直線AC與A₁B所成的角

Answer 1

（1）先證平面平面,再證平面平面,從而可證結論；
（2）先證EF⊥AC，, 從而證明EF⊥平面,進而可證結論；
（3）

解析試題分析：（1）∵分別是的中點，
∴,
∴平面平面,
又∵,
∴平面平面,
∴平面∥平面.                                                             ……4分
（2）∵EF∥BD ，ABCD為正方形
∴BD⊥AC, 即EF⊥AC，
又∵正方體中面ABCD,EF面ABCD, ∴,
∵，AC面,∴EF⊥平面,
又∵EF屬于面EFG, ∴平面⊥平面EFG.                                                 ……8分（3）在正方體中顯然有,
所以即為異面直線AC與A₁B所成的角；
顯然為正三角形，
所以，即異面直線AC與A₁B所成的角為                                      ……12分
考點：本小題主要考查面面平行、線面垂直的證明和線面角的求解。
點評：立體幾何問題，主要考查學生的空間想象能力和推理論證能力，要緊扣相應的判定定理和性質定理，定理中要求的條件要一一列舉出來，缺一不可.求角時，要先證后求，并注意角的取值范圍.