Question

對任意函數f(x), x∈D，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下:

①輸入數據x₀∈D，經數列發生器輸出x₁=f(x₀)；

②若x₁D，則數列發生器結束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f(x₁)，并依此規律繼續下去.

現定義

（1）若輸入x₀=，則由數列發生器產生數列{x_n}，請寫出{x_n}的所有項；

（2）若要數列發生器產生一個無窮的常數列，試求輸入的初始數據x₀的值；

（3）若輸入x₀時，產生的無窮數列{x_n}，滿足對任意正整數n均有x_n＜x_n+1；求x₀的取值范圍.

Answer 1

（1）數列{x_n}只有三項，

（2）當x₀=1時，x_n=1，當x₀=2時，x_n=2（n∈N^*）,（3）x₁∈(1,2),由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2)

解析:

（1）∵f(x)的定義域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)

∴數列{x_n}只有三項，

（2）∵,即x²–3x+2=0

∴x=1或x=2，即x₀=1或2時

故當x₀=1時，x_n=1，當x₀=2時，x_n=2（n∈N^*）

（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2

要使x₁＜x₂，則x₂＜–1或1＜x₁＜2

對于函數

若x₁＜–1，則x₂=f(x₁)＞4，x₃=f(x₂)＜x₂

若1＜x₁＜2時，x₂=f(x₁)＞x₁且1＜x₂＜2

依次類推可得數列{x_n}的所有項均滿足

x_n+1＞x_n（n∈N^*)

綜上所述，x₁∈(1,2),由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).