Question

已知拋物線c₁：y＝x²＋2x和c₂：y＝－x²＋a．如果直線l同時是c₁和c₂的切線，稱l是c₁和c₂的公切線．公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段．

(1)a取什么值時，c₁和c₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線方程．

(2)若c₁和c₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：函數y＝x2＋2x的導數＝2x＋2，曲線c1在點P(x1，x12＋2x1)的切線方程是y－(x12＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x12　　① 　　函數y＝－x2＋a的導數為＝－2x，曲線c2在點Q(x2，－x22＋a)處的切線方程是y－(－x22＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋x22＋a　　② 　　如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，所以消去x2得方程2x12＋2x1＋1＋a＝0． 　　若判別式Δ＝4－4×2(1＋a)＝0，即a＝，解得x1＝．此時點P與Q重合，即當a＝時，c1和c2有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為． 　　(2)證明：由(1)知，當a＜時，c1和c2有兩條公切線．設一條公切線上的切點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在c1上，Q在c2上，則有x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x12＋2x1＋(－x22＋a)＝x12＋2x1－(x1＋1)2＋a＝－1＋a，線段PQ的中點坐標為()． 　　同理，另一條公切線段的中點坐標也是()，所以公切線段PQ和互相平分．