Question

（本題滿分14分）如圖，正方形、的邊長都是1，平面平面，點在上移動，點在上移動，若（）

（I）求的長；

（II）為何值時，的長最小；

（III）當的長最小時，求面與面所成銳二面角余弦值的大小.

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2)

(3)

【解析】解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四邊形，∴  MN=PQ.

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴  AC=BF=，

即 

                         ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，當

即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為 ………………9分

（Ⅲ）取MN的中點G，連結AG、BG，

∵  AM=AN，BM=BN，G為MN的中點

∴  AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角A-MN-B的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

               

∴所求余弦值為               …14分