Question

（本小題滿分13分）已知函數   （1）討論函數f (x)的極值情況；      （2）設g (x) = ln(x + 1)，當x₁>x₂>0時，試比較f (x₁ – x₂)與g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)  略

解析:

（1）當x>0時，f (x) = e^x – 1在(0，+∞)單調遞增，且f (x)>0；當x≤0時，．①若m = 0，f ′(x) = x²≥0, f (x) =在(–∞，0]上單調遞增，且f (x) =．又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函數，無極植；       ②若m<0，f ′(x) = x(x + 2m) >0，則f (x) =在(–∞，0)單調遞增，同①可知f (x)在R上也是增函數，無極值；…4分   ③若m>0，f (x)在(–∞，–2m]上單調遞增，在(–2m，0)單調遞減，      又f (x)在(0, +∞)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值． 6分

       （2）當x >0時，先比較e^x – 1與ln(x + 1)的大小，      設h(x) = e^x – 1–ln(x + 1)   (x >0)      h′(x) =恒成立       ∴h(x)在(0，+∞)是增函數，h(x)>h (0) = 0      ∴e^x – 1–ln(x + 1) >0即e^x – 1>ln(x + 1)

       也就是f (x) > g (x) ，成立．  故當x₁ – x₂>0時，f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂)…10分

       再比較與g (x₁) –g (x₂) = ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．

       =

       =    ∴g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)

       ∴f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂) ．……13分