Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱CC₁上的一個動點，平面BED₁交棱AA₁于點F．則下列命題中假命題是（　　）

A、存在點E，使得A₁C₁∥平面BED₁F

B、存在點E，使得B₁D⊥平面BED₁F

C、對于任意的點E，平面A₁C₁D⊥平面BED₁F

D、對于任意的點E，四棱錐B₁-BED₁F的體積均不變

Answer 1

分析：當E為CC₁的中點時，則F也為AA₁的中點，可證A₁C₁∥平面BED₁F，判斷A是真命題；
用反證法證明不存在點E，使得B₁D⊥平面BED₁F，判斷B是假命題；
根據對于任意的點E，都有BD₁⊥平面A₁C₁D，判斷C是真命題；
根據VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1，而兩個三棱錐的體積為定值，判斷D是真命題．

解答：解：對A，當E為CC₁的中點時，則F也為AA₁的中點，∴EF∥A₁C₁，∴A₁C₁∥平面BED₁F；故A為真命題；
對B，假設B₁D⊥平面BED₁F，則B₁D在平面BCC₁B₁和平面ABB₁A₁上的射影B₁C，B₁A分別與BE，BF垂直，
可得E與C₁重合，F與A₁重合，而B，A₁，C₁，D₁四點不共面，∴不存在這樣的點E，故B為假命題你；
對C，∵BD₁⊥平面A₁C₁D，BD₁?平面BED₁F，∴平面A₁C₁D⊥平面BED₁F，故C是真命題；
對D，∵VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1，∵CC₁∥AA₁∥平面BB₁D₁，∴四棱錐B₁-BED₁F的體積為定值，故D是真命題；
故選B．

點評：本題考查了空間中直線與平面的平行，垂直關系及棱錐的體積計算，解答的關鍵是熟練掌握線面垂直的性質定理與判定定理．