Question

(13分)在△ABC中，，點B是橢圓的上頂點，l是雙曲線位于x軸下方的準線，當AC在直線l上運動時．
(1)求△ABC外接圓的圓心的軌跡E的方程；
(2)過定點F(0，)作互相垂直的直線l₁、l₂，分別交軌跡E于點M、N和點R、Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

Answer 1

解析：(1)由橢圓方程及雙曲線方程可得點B(0，2)，直線l的方程是． ，且AC在直線l上運動.
可設，則AC的垂直平分線方程為 ①
AB的垂直平分線方程為 ②   

∵P是△ABC的外接圓圓心，點P的坐標(x，y)滿足方程①和②.
由①和②聯立消去m得：，即.
故圓心P的軌跡E的方程為

 (2)解：如圖，直線l₁和l₂的斜率存在且不為零，設l₁的方程為
∵l₁⊥l₂，∴l₂的方程為
由得，∴直線l₁與軌跡E交于兩點.
設M(x₁，y₁)， N(x₂，y₂)，則
∴
同理可得：     
∴四邊形MRNQ的面積
≥
當且僅當，即時，等號成立.故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．