Question

 (本小題滿分16分)

已知數(shù)列，，且滿足（）.

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，且.記，求證：數(shù)列為常數(shù)列；

（3）若，且.若數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）數(shù)列的通項(xiàng)為. （2）見解析；

（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列的概念和數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用。

（1）當(dāng)時(shí)，有累加法得到

 

，也滿足上式，

所以數(shù)列的通項(xiàng)為.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241500039926864891_DA.files/image010.png">，

所以對(duì)任意的有，

所以數(shù)列是一個(gè)以6為周期的循環(huán)數(shù)列

進(jìn)而證明為常數(shù)列

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241500039926864891_DA.files/image015.png">，且，所以，

且對(duì)任意的，有，  

設(shè)，（其中為常數(shù)且），所以

，

所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.記，構(gòu)造新數(shù)列來分析周期性和最值問題。

（1）當(dāng)時(shí)，有

 ……………………1分

，也滿足上式，

所以數(shù)列的通項(xiàng)為. ………………………………………………………3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241500039926864891_DA.files/image010.png">，

所以對(duì)任意的有，

所以數(shù)列是一個(gè)以6為周期的循環(huán)數(shù)列……………………………………………………5分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241500039926864891_DA.files/image016.png">，所以

所以

，

所以數(shù)列為常數(shù)列. ……………………………………………………………………7分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414592777526150/SYS201208241500039926864891_DA.files/image015.png">，且，所以，

且對(duì)任意的，有，  

設(shè)，（其中為常數(shù)且），所以

，

所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.……………………………………………10分

記，則，

（其中，為中的一個(gè)常數(shù)），

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的有；…………………………………………12分

當(dāng)時(shí)，

 

①若，則對(duì)任意的有，數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列；

②若，則對(duì)任意的有，數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列；

綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次……………14分

當(dāng)時(shí)，符合要求；當(dāng)時(shí)，符合要求，此時(shí)的；

當(dāng)時(shí)，符合要求，此時(shí)的；

當(dāng)時(shí)，符合要求，此時(shí)的；

當(dāng)時(shí)，符合要求，此時(shí)的；

當(dāng)時(shí)，符合要求，此時(shí)的；

即當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.………………………16分