Question

【題目】設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知sin ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）由已知有sinA，
故sinA=cosA，tanA=．
又0＜A＜π，
所以A=．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得b=，c=
故b+c=(sinB+sinC)．sinB+sinC=sinB+(-B)=sinB+sincosB-cossinB=sinB+cosB
=sin(B+)．
所以b+c=4sin(B+)．
因為，所以．
∴當B+=即B=時，sin(B+)取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得，4=b2+c2﹣bc，
所以4=（b+c）2﹣3bc，即，
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，當且僅當b=c，即△ABC為正三角形時，b+c取得最大值4．
【解析】解法一：（Ⅰ）由已知利用兩角差的正弦公式展開可求tanA，結合0＜A＜π，可求A
（Ⅱ）由正弦定理得b= ， c= ， 則有b+c=(sinB+sinC)，結合（I）中的A可得B+C，代入上式，然后結合和差角及輔助角公式可求
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，結合（I）中A可得，b，c的關系，然后利用基本不等式即可求
【考點精析】根據題目的已知條件，利用兩角和與差的余弦公式和兩角和與差的正弦公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的余弦公式：；兩角和與差的正弦公式：．