Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓與的離心率相等．橢圓的右焦點為F，過點F的直線與橢圓交于A，B兩點，射線與橢圓交于點C，橢圓的右頂點為D．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若的面積為，求直線的方程；

（3）若，求證：四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題得，解方程即得的值，即得橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，聯立，得到韋達定理，再根據求出的值，即得直線的方程；

（3）設先求出的坐標，得到．所以，又，所以．即得四邊形是平行四邊形．

（1）由題意知，橢圓的長軸長，短軸長，焦距，

橢圓的長軸長，短軸長，焦距．

因為橢圓與的離心相等，所以，即，

因為，所以，

所以橢圓的標準方程為．

（2）因為橢圓右焦點為，且A，O，B三點不共線，

設直線的方程為，聯立，

消x得．

設，，，

所以，

即．

因為

，

化簡得，所以，

所以直線的方程為，即．

（3）因為，所以．

因為，所以，

所以

因為在橢圓上，

所以，所以消，得．

代入，由對稱性不妨設，所以，

從而得，，

即．

所以，直線的方程為，

聯立，得．

由題知，所以，所以．

又，所以．

又因為不共線，所以，

又，且不共線，所以．

所以四邊形是平行四邊形．