Question

如果一個數列的各項均為實數，且從第二項起開始，每一項的平方與它前一項的平方的差都是同一個常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫做這個數列的公方差．
（1）若數列{b_n}是等方差數列，b₁=1，b₂=3，求b₇；
（2）是否存在一個非常數數列的等差數列或等比數列，同時也是等方差數列？若存在，求出這個數列；若不存在，說明理由．
（3）若正項數列{a_n}是首項為2、公方差為4的等方差數列，數列{

1

an

}的前n項和為T_n，是否存在正整數p，q，使不等式Tn＞

pn+q

-1對一切n∈N^*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等方差數列的定義求出公方差，即可求得b₇的值；
（2）若數列{a_n}是等差數列，設a_n=an+b（a，b∈R），利用{a_n}也是等方差數列，應有an2-an-12=k（k為與n無關的常數），從而可得a_n=b必為一常數數列；若數列{a_n}是等比數列，利用{a_n}也是等方差數列，應有an2-an-12=k（k為與n無關的常數），可得q=±1，再驗證即可；
（3）先求數列{

1

an

}的前n項和，再假設存在正整數p，q，使不等式Tn＞

pn+q

-1對一切n∈N^*都成立，猜想p=q=1，再進行證明．

解答：解：（1）由{b_n}是等方差數列，b₁=1，b₂=3，有公方差d=3²-1²=8，------（1分）
于是b72=1+(7-1)×8=49，∴b₇=±7------------------------------（3分）
（2）若數列{a_n}是等差數列，設a_n=an+b（a，b∈R），則an2=a2n2+2abn+b2，
要使{a_n}也是等方差數列，應有an2-an-12=k（k為與n無關的常數），得a²=0，即a=0，這時a_n=b必為一常數數列，因此不存在一個非常數數列的等差數列，同時也是等方差數列．-----（5分）
若數列{a_n}是等比數列，設an=a1qn-1（q為公比且q≠0），則an2=a12q2n-2，
要使{a_n}也是等方差數列，應有an2-an-12=k（k為與n無關的常數），即a12q2n-2-a12q2n-4=a12q2n-4(q2-1)=k，所以必有q²=1，q=±1，----------（7分）
當q=1時，數列{a_n}是常數數列，故舍去
當q=-1時，所以存在一個非常數數列的等比數列，同時也是等方差數列，其公比q=-1．--（9分）
（3）由于{a_n}是首項為2，公方差為4的等方差數列，∴an2=a12+(n-1)d=4+4(n-1)=4n，
∴an=2

n

，------（10分）
∴數列{

1

an

}的前n項和為：Tn=

1

2

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)---（11分）
假設存在正整數p，q使不等式

1

2

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)＞

pn+q

-1對一切n∈N^*都成立．
即

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2(

pn+q

-1)
當n=1時，1＞2(

p+q

-1)，∴p+q＜

9

4

，又p，q為正整數，∴p=q=1．--（13分）
下證明：

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2(

n+1

-1)對一切n∈N^*都成立．
由于

1

n

=

2

n + n

＞

2

n+1 + n

=2(

n+1

-

n

)(n∈N*)
所以

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2[(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)]=2(

n+1

-1)．（16分）

點評：本題考查新定義，考查等差數列與等比數列的綜合，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．