Question

【題目】已知.

（1）討論函數(shù)_f(x)的單調(diào)性；

（2）若 ，且有2 個(gè)不同的極值點(diǎn) ，求證：.

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷的單調(diào)性；

（2）①方法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，求得和的關(guān)系，因此可以求得的取值范圍；

方法二：根據(jù)方法一求得和的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理求得的取值范圍；

②根據(jù)①可知，表示出，消元，根據(jù)的取值范圍和函數(shù)的單調(diào)性即可求得

（1），求導(dǎo)，，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

綜上可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）①方法一：因?yàn)?/span>＝，

所以，有個(gè)不同的極值點(diǎn)，，

則，是方程＝的兩個(gè)根，由，得＝，

且＝，＝，結(jié)合，可得，由，

得，所以，

方法二：因?yàn)?/span>＝，

所以，有個(gè)不同的極值點(diǎn)，，

則，是方程＝的兩個(gè)根，由，得＝，

且＝，＝，結(jié)合，可得，

設(shè)＝＝，因?yàn)?/span>，＝，

由零點(diǎn)存在定理得；

②，

設(shè)，，

求導(dǎo)，，，

故＝在單調(diào)遞減，，

所以