Question

設函數f(x)=sin(ωx+

π

4

)(x∈R，ω＞0)的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f(x)•f(-x)=

1

4

，x∈(

π

4

，

π

2

)，求tanx的值．

Answer 1

分析：（1）由圖可知

T

4

=

π

4

，從而求ω，繼而可得f（x）的表達式；
（2）由f（x）•f（-x）=

1

4

可求得cos4x=

1

2

，結合題意可求得x=

5π

12

，利用兩角和（

π

4

+

π

6

）的正切即可求得tanx的值

解答：解：（1）設函數f（x）的周期為T，
∵

T

4

=

3π

8

-

π

8

=

π

4

，
∴T=π，
∴ω=2．
∴f（x）=sin（2x+

π

4

）．     …（3分）
（2）∵f（x）•f（-x）=sin（2x+

π

4

）sin（

π

4

-2x）=sin（2x+

π

4

）cos（2x+

π

4

）=

1

4

，
∴∴sin（4x+

π

2

）=

1

2

，故cos4x=

1

2

，
又x∈（

π

4

，

π

2

），4x∈（π，2π），
∴x=

5π

12

，…（9分）
∴tanx=tan

5π

12

=tan（

π

4

+

π

6

）=

tan π 4 +tan π 6

1-tan π 4 •tan π 6

=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

．…（12分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查二倍角的正弦與誘導公式，考查兩角和的正切，屬于中檔題．