Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
，……………………2分
,
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.        ……………4分
（Ⅱ），令，解得 ……………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202542920398.png" style="vertical-align:middle;" />，以下分兩種情況討論：      
（1）若變化時(shí)，的變化情況如下表：

	+		+

   
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是.………8分
（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	+		+

   
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是……………………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
以下分兩種情況討論：
（1）當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
.
所以對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn).………………………12分
（2）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
若,
.  所以內(nèi)存在零點(diǎn).
若.
,        所以內(nèi)存在零點(diǎn). …………………13分
所以，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn).
綜上，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn).  …………………14分

略