Question

已知橢圓的一條準線方程是=1，過橢圓的左焦點F，且方向向量為=(1，1)的直線交橢圓于A、B兩點，AB的中點為M．

(1)求直線OM的斜率(用、b表示)：

(2)直線AB與OM的夾角為，當tan=2時，求橢圓的方程；

(3)當A、B兩點位于第一、三象限時，求橢圓短軸長的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由題意可得：直線：，

    設A(，)，B(，)，

    則有，

兩式作差得：，

因為=1，所以．

(2)tan=

           =，

    化簡得，又因為=1，

    解得，，

    所以橢圓方程是=1．

    (3)由題意可得，直線：，與橢圓方程聯立

    得()+2+(一)=0，

    因為A、B兩點位于第一、三象限，

    所以= <0，所以>c，

    因為=1，

    即，

∴0<b<1，而b>c，所以短軸長2b的取值范圍是(0，1)