Question

已知一直線l經過原點且與曲線y=x³-3x²+2x相切，試求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：設切點為（x，y），則y=x³-3x²+2x，由于直線l經過原點，故等式的兩邊同除以x即得切線的斜率，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點x處的切線斜率，便可建立關于x的方程．在兩邊同除以x時，要注意對x是否為0進行討論．
解答：解：設直線l：y=kx．∵y′=3x²-6x+2，∴y′|_x=0=2，
又∵直線與曲線均過原點，于是直線y=kx與曲線y=x³-3x²+2相切于原點時，k=2．
若直線與曲線切于點（x，y）（x≠0），則k=，∵y=x³-3x²+2x，
∴=x²-3x+2，
又∵k=y′|=3x²-6x+2，
∴x²-3x+2=3x²-6x+2，∴2x²-3x=0，
∵x≠0，∴x=，∴k=x²-3x+2=-，
故直線l的方程為y=2x或y=-x．
點評：本題主要考查了導數(shù)的運算，以及直線方程和切線問題，屬于基礎題．