Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心為坐標原點焦點在軸上，右頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上關于軸對稱的任意兩點，設，連接交橢圓于另一點．求證：直線過定點并求出點的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，；（3）.

【解析】

(1)根據題意列出關于的等式求解即可.

(2)先根據對稱性,直線過的定點一定在軸上,再設直線的方程為,聯立直線與橢圓的方程, 進而求得的方程,并代入,化簡分析即可.

(3)先分析過點的直線斜率不存在時的值,再分析存在時,設直線的方程為,聯立直線與橢圓的方程,得出韋達定理再代入求解出關于的解析式,再求解范圍即可.

解：設橢圓的標準方程焦距為,

由題意得,

由,可得

則,

所以橢圓的標準方程為；

證明：根據對稱性,直線過的定點一定在軸上,

由題意可知直線的斜率存在,

設直線的方程為,

聯立,消去得到,

設點,

則．

所以,

所以的方程為,

令得,

將,代入上式并整理,

,

整理得,

所以,直線與軸相交于定點．

當過點的直線的斜率不存在時,直線的方程為,

此時,

當過點的直線斜率存在時,

設直線的方程為,且在橢圓上,

聯立方程組,

消去,整理得,

則．

所以

所以,

所以,

由得,

綜上可得,的取值范圍是．