Question

（2012•貴州模擬）如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2．將三角形BAO沿AO折起，使B點與圖中B₁點重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）在線段B₁A上是否存在一點P，使CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為

2

3

？證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，確定平面B₁OC的法向量、平面AB₁C的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結論；
（Ⅱ）存在，且P為線段AB₁的中點．確定平面B₁OA的法向量為

m′

=（0，1，0），

CP

的坐標，根據CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為

2

3

，利用向量的夾角公式，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意得OA、OC、OB₁兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB₁為x、y、軸的正半軸建立空間直角坐標系O-xyz，
則O（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，0，1），C（0，1，0）
設平面B₁OC的法向量為

n

，可得

n

=(1，0，0)
設平面AB₁C的法向量為

m

=（x，y，z），

AB1

=(-2，0，1)，

AC

=(-2，1，0)
由

m • AB1 =0 m • AC =0

，可得

-2x+z=0 -2x+y=0

，∴可取

m

=(1，2，2)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

∴二面角A-B₁C-O的大小為arcsin

1

3

；
（Ⅱ）存在，且P為線段AB₁的中點．證明如下：
設

AP

=λ

AB1

=(-2λ，0，λ)，則

CP

=

CA

+

AP

=(2-2λ，-1，λ)
∵平面B₁OA的法向量為

m′

=（0，1，0），CP與平面B₁OA所成的角的正弦值為

2

3

∴|

CP • m′

| CP || m′ |

|=

1

5λ2-8λ+5

=

2

3

∴20λ²-32λ+11=0
∴λ=

1

2

或λ=

11

10

＞1（舍去）
∴P為線段AB₁的中點．

點評：本題考查面面角、線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，，求平面的法向量是關鍵，屬于中檔題．