Question

如圖，在四面體ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點O是△ABC的中心，將△DAO繞直線DO旋轉一周，則在旋轉過程中，直線DA與BC所成角的余弦值的取值范圍是（　　）

• A、[0， 

  6

  3

  ]
• B、[0， 

  3

  2

  ]
• C、[0， 

  2

  2

  ]
• D、[0， 

  3

  3

  ]

Answer 1

分析：根據異面直線所成角的定義，可得當直線DA與直線BC垂直時它們的所成角是90°，達到最大值．由直線與平面所成角的性質，當點A滿足直線BC與OA平行時，直線DA與直線BC所成角等于∠OAD，達到最小值．由此結合題中數據加以計算，即可得到DA與BC所成角的余弦值的取值范圍．

解答：解：根據題意，可得在旋轉過程中，當直線DA與直線BC垂直時它們的所成角為90°，
此時兩條直線所成的角的余弦值為0，達到最小值．
當點A滿足直線BC與OA平行時，DA與BC所成的角等于∠OAD，由直線與平面所成角的性質，可得此時兩條直線所成的角達到最小值，余弦值達到最大值．
∵DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，
∴AB=BC=CA=

2

，得到△ABC是邊長為

2

的等邊三角形，
因此圓0的半徑R=

3

3

AB=

6

3

，
設直線BC與OA平行時的點A的位置為A'，
∴Rt△AOD中，cos∠OA'D=

OA′

A′D

=

6

3

，即DA與BC所成的余弦值最大值為

6

3

，
綜上所述，直線DA與直線BC所成角余弦值的取值范圍是[0，

6

3

]．
故選：A

點評：本題給出正三棱錐中，在Rt△AOD旋轉過程中求直線DA與直線BC所成角余弦值的取值范圍．著重考查了直線與平面所成角的性質、異面直線所成角的定義與求法、余弦的定義與單調性等知識，屬于中檔題．