Question

（09年湖北鄂州5月模擬理）已知兩定點A(－3，0)，B(3，0)，動圓M與直線AB相切于點N，且，現分別過點A、B作動圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點P．

⑴求動點P的軌跡方程；

⑵若直線xmy3＝0截動點P的軌跡所得的弦長為5，求m的值；

    ⑶設過軌跡上的點P的直線與兩直線分別交于點P₁、P₂，且點P分有向線段所成的比為λ(λ＞0)，當λ∈時，求的最值．

Answer 1

解析：⑴由題設及平面幾何知識得

∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線右支由，

∴b²＝c²－a²＝5，故所求P點的軌跡方程為                3分

⑵易知直線xmy3＝0恒過雙曲線焦點B(3，0)

設該直線與雙曲線右支相交于D(x_D，y_D)，E(x_E，y_E)由雙曲線第二定義知

，又a＝2，c＝3，

∴e＝則                                                               5分

由|DE|＝5，得，從而易知僅當m＝0時，滿足|DE|＝5

故所求m＝0                                                                                           7分

⑶設P(x，y)，P₁(x₁、y₁)，P₂(x₂、y₂)且P分有向線段所成的比為λ，則

，又點P(x，y)在雙曲線

上，∴，化簡得，

又，，∴         9分

令  ∵在上單減，在上單增，

又    ∴在上單減，在上單增，∴u_min＝u(1)＝4，

又，    ∴u_min＝

故的最小值為9，最大值為。