Question

設函數f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然對數的底數）．
（1）判斷函數H（x）=f（x）-g（x）零點的個數，并說明理由；
（2）設數列{a_n}滿足：a₁∈（0，1），且f（a_n）=g（a_n+1），n∈N^*；
①求證：0＜a_n＜1；
②比較a_n與（e-1）a_n+1的大小．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定導函數的零點，從而可求H（x）的最小值，證明最小值小于0，可得H（x）有兩個零點；
（2）①由f（a_n）=g（a_n+1），可得a_n+1=

1

e-1

（ean-1），用數學歸納法證明a_n∈（0，1）；
②作差（e-1）a_n+1-a_n=ean-1-a_n，考慮函數p（x）=e^x-1-x（0＜x＜1），證明p（x）在（0，1）上是增函數，即可得到結論．

解答：解：（1）函數f（x）=e^x+1，g（x）=（e-1）x+2，∴H（x）=f（x）-g（x）=e^x-（e-1）x-1
∴H′（x）=e^x-（e-1），
令H′（x）=0，則x₀=ln（e-1）
當x∈（-∞，x₀）時，H′（x）＜0，H（x）在（-∞，x₀）單調遞減
當x∈（x₀，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）在（x₀，+∞）單調遞增
故H（x）_min=H（x₀）=e^x₀-（e-1）x₀-1=e-1-（e-1）ln（e-1）-1
令t=e-1＞1，函數h（t）=t-tlnt-1，
因為h′（t）=-lnt＜0，所以函數h（t）=t-tlnt-1在（1，+∞）單調遞減，故h（t）≤h（1）=0，
又e-1＞1，故H（x₀）＜0，從而H（x）有兩個零點；
（2）①證明：因為f（a_n）=g（a_n+1），即ean+1=（e-1）a_n+1+2，所以a_n+1=

1

e-1

（ean-1）
下面用數學歸納法證明a_n∈（0，1）
1°當n=1時，a₁∈（0，1）成立；
2°假設當n=k時，a_k∈（0，1），則a_k+1=

1

e-1

（eak-1）
∵a_k∈（0，1），∴1＜eak＜e，∴0＜＜e-1
∴0＜a_k+1＜1
綜上知，a_n∈（0，1）；
②解：∵（e-1）a_n+1-a_n=ean-1-a_n，
考慮函數p（x）=e^x-1-x（0＜x＜1）
∵p′（x）=e^x-1＞0，
∴p（x）在（0，1）上是增函數
故p（x）＞p（0）=0
∴（e-1）a_n+1-a_n＞0
∴（e-1）a_n+1＞a_n．

點評：本題考查函數的零點，考查函數的單調性，考查數學歸納法的運用，考查大小比較，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．