Question

（2012•石景山區(qū)一模）如圖，已知平面α∩β=l，A、B是l上的兩個(gè)點(diǎn)，C、D在平面β內(nèi)，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使得∠APD=∠BPC，則△PAB面積的最大值是（　　）

• A．

  9 3

  2

• B．

  36

  5

• C．12
• D．24

Answer 1

分析：本題在二面角背景下求三角形的面積，需要借助直二面角的相關(guān)知識(shí)研究三角形的幾何特征，再由面積公式求出面積，由題設(shè)條件知兩個(gè)直角三角形△PAD與△PBC是相似的直角三角形，根據(jù)題設(shè)條件可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足為D，令A(yù)D=t，將三角形的面積用t表示出來，再研究面積的最值選出正確選項(xiàng)．

解答：解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個(gè)定點(diǎn)，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足為M，則PM⊥β，令A(yù)M=t∈R，在兩個(gè)Rt△PAM與Rt△PBM中，AM是公共邊及PB=2PA，∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t 2

，即此四棱錐的高等于

12-4t-t 2

．
∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12-4t-t 2

=3

16-(t +2)2

≤12．
即三角形面積的最大值為12，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解答本題，關(guān)鍵是將由題設(shè)條件得出三角形的性質(zhì)、：兩鄰邊的值有2倍的關(guān)系，第三邊長(zhǎng)度為6，引入一個(gè)變量，將面積表示成此變量的函數(shù)，從而利用函數(shù)的最值來研究面積的最值，本題考查了函數(shù)最值的思想，轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，本題解題過程中將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解是幾何問題中求最值的常規(guī)思想，在近幾年的高考中此類題多有出現(xiàn)，本題易因?yàn)闆]有能建立起面積的函數(shù)而導(dǎo)致解題失敗．