Question

(本小題滿分14分)

已知數(shù)列，，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得對(duì)于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；

（Ⅲ）若數(shù)列滿足當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

 

 

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）因?yàn)?img width=105 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/85/21585.gif" >，

當(dāng)時(shí)，．

所以．

所以．

即．

又，

所以

．……………………………………………………………………3分

當(dāng)時(shí)，上式成立

因?yàn)?img border=0 width=40 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/96/21596.gif" >，，

所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

則．…………………7分

假設(shè)存在自然數(shù)，使得對(duì)于任意，，有恒成立，

即恒成立．

由，解得．

所以存在自然數(shù)，使得對(duì)于任意，，有恒成立．此時(shí)的最小值為．……………………………………………………10分

（Ⅲ）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，

  

 

   ．……………………………………………………12分

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

  

   ．

因此…………………………14分