Question

已知曲線f（x）=x³-3ax（a∈R），直線y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=

4

3

時(shí)，且曲線f（x）與直線有三個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍
（Ⅱ）若對任意的實(shí)數(shù)m，直線與曲線都不相切，
（ⅰ）試求a的取值范圍；
（ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，曲線f（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到x軸的距離不小于

1

4

．試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解：當(dāng)a=

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3

時(shí)，f（x）=x³-4x，由曲線f（x）與直線有三個(gè)交點(diǎn)，可得x³-3x=m有三個(gè)不同的根，構(gòu)造函數(shù)
g（x）=x³-3x，先求導(dǎo)可得g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），通過研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性求解函數(shù)的極值，結(jié)合極值可求滿足條件的m的范圍
（II）（i）首先分析對任意的m直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線的含義，即可求出函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)，使直線與其不相交即可．
（ii ）（法一）：問題等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|_max≥

1

4

，設(shè)g（x）=|f（x）|，則由g（x）在x∈[-1，1]上是偶函數(shù)，可知只要證明當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|_max≥

1

4

，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求解相應(yīng)的最大值即可
（法二）可考慮利用反證法證明假設(shè)在x∈[-1，1]上不存在x₀，使得|f（x₀）|≥

1

4

成立．下同法一的證明思路

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=

4

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時(shí)，f（x）=x³-4x
∵曲線f（x）與直線有三個(gè)交點(diǎn)
∴x³-4x=-x+m有三個(gè)不同的根
∴x³-3x=m有三個(gè)不同的根，
令g（x）=x³-3x，g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴g（x）在（-1，1）上遞減，（1，+∞），（-∞，-1）上遞增g（-1）_極大值=2，g（1）_極小值=-2
∴當(dāng)-2＜m＜2時(shí)，曲線f（x）與直線有三個(gè)交點(diǎn)
（Ⅱ）（i）f（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞]，
∵對任意m∈R，直線x+y+m=0都不與y=（x）相切，
∴-1不屬于[-3a，+∞]，-1＜-3a，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜

1

3

；
（ii）存在，證明方法1：問題等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|_max≥

1

4

，
設(shè)g（x）=|f（x）|，則g（x）在x∈[-1，1]上是偶函數(shù)，
故只要證明當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|_max≥

1

4

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞

1

4

；
②當(dāng)0＜a＜

1

3

時(shí)f′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

），
列表：

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值2a a	↓	極小值 -2a a	↑

f（x）在（0，

a

）上遞減，在（

a

，1）上遞增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1，
∴x∈（0，

3a

）時(shí)，g（x）=-f（x），x∈（

3a

，1）時(shí)，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（

a

）}，
由f(1)=1-3a≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得0＜a≤

1

4

，此時(shí)-f(

a

)≤f(1)成立．
∴g(x)max=f(1)=1-3a≥

1

4

．
由-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得

1

4

≤a＜

1

3

，此時(shí)-f(

a

)≥f(1)成立．
∴g(x)max=-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一個(gè)x₀，使得|f（x₀）|≥

1

4

成立．
（II）存在，證明方法2：反證法
假設(shè)在x∈[-1，1]上不存在x₀，使得使得|f（x₀）|≥

1

4

成立．
，即任意|f(x0)|＜

1

4

，x∈[-1，1]，設(shè)g（x）=|f（x）|
，則g（x）在x∈[-1，1]，上是偶函數(shù)，
∴x∈[0，1]時(shí)，|f(x)|max＜

1

4

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g(x)max=f(1)=1-3a＜

1

4

，a＞

1

4

與a≤0矛盾；
②當(dāng)0＜a＜

1

3

，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，可知f（x）在(0，

a

)上遞減，在(

a

，1)上遞增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1
∴x∈(0，

3a

)時(shí)，g（x）=-f（x），x∈(

3a

，1)時(shí)，g（x）=f（x），
∴g(x)max=max{f(1)，-f(

a

)}
注意到0＜a＜

1

3

，由：

-f( a )≤f(1)=1-3a f(1)=1-3a＜ 1 4

，

0＜a≤ 1 4 a＞ 1 4

矛盾；

-f( a )≥f(1)=1-3a -f( a )=2a a ＜ 1 4

，

a≥ 1 4 a＜ 1 4

矛盾；
∴x∈[-1，1]，|f(x)0|＜

1

4

與a＜

1

3

矛盾，
∴假設(shè)不成立，原命題成立．

點(diǎn)評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間‘函數(shù)的極值及方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換的應(yīng)用，解題過程要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力及分析問題解決問題的能力．還有注意反證法在證明命題中的應(yīng)用．