Question

已知函數的圖象關于直線y=x對稱．
（1）求實數b的值；
（2）畫出函數f（x）的大致圖象，并指出函數的單調區間．

Answer 1

（1）令，反解x得，即f（x）的反函數為．
∵函數的圖象關于直線y=x對稱，
∴≡，解得 b=-1．
（2）∵的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），
∴，得 ，即（x-1）（y-1）=1，
表明其圖象是反比例函數型的雙曲線，因此，其大致圖象如右圖所示：
函數的單調減區間是（-∞，1）和（1，+∞）．
分析：（1）易求f（x）的反函數f^-1（x），由函數的圖象關于直線y=x對稱可得f（x）≡f^-1（x），由此即可求得b值；
（2）先求得函數f（x）的定義域，y=f（x）可變形為（x-1）（y-1）=1，由此可判斷其圖象是反比例函數型的雙曲線，從而可畫出圖象，據圖象可得其單調區間；
點評：本題考查函數圖象的作法及反函數，考查學生的運算求解能力．