Question

下列命題中正確命題的序號是

①②③⑤

．
①若A={x|x＞0}，B=R，則f：x→y=x²是A到B的映射；
②設函數f （x） 對任意實數x、y都有f （x+y）=f （x）•f （y），且f （1）≠0，則f （0）=1；
③既是奇函數，又是偶函數的函數有無窮多個；
④f （x）是R上的偶函數，則f （x）•f （-x）＞0；
⑤存在常數M對函數y=f （x）的定義域內任意x都有f （x）≤M，則M是y=f （x）的最大值．

Answer 1

分析：①根據映射的定義，對于集合A中任意一個元素，在B中有唯一元素，與之對應；
②令x=1，y=0，利用f （x+y）=f （x）•f （y），可得f （0）=1；
③因為定義域的不同應該有無數多個，但函數形式應該就這一個；
④f（x）=0，f （x）•f （-x）=0，不符合f （x）•f （-x）＞0；
⑤根據函數最大值的定義，可判斷．
故可得結論．

解答：解：①根據映射的定義，對于集合A中任意一個元素，在B中有唯一元素，與之對應，故①為正確命題；
②令x=1，y=0，則∵f （x+y）=f （x）•f （y），∴f （1+0）=f （1）•f （0），
∵f （1）≠0，∴f （0）=1，故②為正確命題；
③令f（x）=0 （定義域關于原點對稱）．因為定義域的不同應該有無數多個，但函數形式應該就這一個，故③為正確命題；
④令f（x）=0，則f （x）•f （-x）=0，不符合f （x）•f （-x）＞0，故④為不正確命題；
⑤根據函數最大值的定義，可知存在常數M對函數y=f （x）的定義域內任意x都有f （x）≤M，則M是y=f （x）的最大值，故⑤為正確命題．
所以正確命題為：①②③⑤

點評：本題以命題為載體，考查命題真假的判斷，考查函數的性質，考查的知識點多，綜合性強．