Question

如圖，M是拋物線上y²=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB．
（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）可用待定系數法設出兩直線的方程，用參數表示出兩點E，F的坐標，用兩點式求了過兩點的直線的斜率，驗證其是否與參數無關，若無關，則說明直線EF的斜率為定值．
（2）設出點M的坐標，如（1）用參數表示出點E，F的坐標，再由重心坐標與三角形的三個頂點的坐標之間的關系將其表示出來，消參數即可得重心的方程．

解答：解：（1）設M（y₀²，y₀），直線ME的斜率為k（k＞0），則直線MF的斜率為-k
直線ME的方程為y-y₀=k（x-y₀²），由

y-y 0=k(x-y 0 2)  y 2=x

消去x得ky-y+y₀（1-ky₀）=0，解得y_E=

1-ky 0

k

，x_E=

(1-ky 0) 2

k 2

同理可得y_F=

1+ky 0

-k

，x_F=

(1+ky 0) 2

k 2

∴k_EF=

y E-y F

X E-X  F

，將坐標代入得k_EF=-

1

2y0

（定值）
所以直線EF的斜率為定值．

（2）當∠EMF=90°時，∠MAB=45°，所以k=1
∴直線ME的方程為：y-y₀=x-y₀²，
由

y-y 0=x-y 0 2 y 2=x

得E（（1-y₀）²，1-y₀）
同理可得F（（1+y₀）²，-（1+y₀）），
設重心為G（x，y），則有

x= xM+xE+xF 3 y= yM+yE+yF 3

代入坐標得

x= 2+3y0 2 3 y= - y0 3

消去參數y₀得y²=

1

9

x-

2

27

（x＞

2

3

）

點評：本題考點是直線與圓錐直線的位置關系，待定系數法表示方程，在本題驗證直線過定點是先用參數表示出相關的直線方程解出兩點的坐標再用斜率公式驗證其是否為定值．