Question

【題目】已知函數（且）.

（1）討論的單調性；

（2）對任意，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

(1)求出函數的導數,通過討論a的范圍,求出函數的單調區間即可;
(2) 由題意知對任意，恒成立，，又由（1）可知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.所以只需：，設，對其求導可得函數的單調性，從而可求得實數的取值范圍.

解：（1）由.令得，

當時，時，，單調遞減；時，，單調遞增.

當時，時，，單調遞減；時，，單調遞增.

綜上所述，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

（2）由題意知對任意，

恒成立，，

又由（1）知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.所以只需：

，

設.

∵，∴在區間上單調遞增；在區間上單調遞減.

注意到，所以，當不等式（1）成立；當時不等式（1）不成立.

又，∴當不等式（1）也成立，

所以，時不等式（1）成立.此時，不等式（2）也成立，而當時，

，由函數的性質知，不等式（2）不成立.

綜上所述，不等式組的解為.

又∵，∴實數的取值范圍為.