Question

在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是D₁D、BD的中點，G在棱CD上，且CG=CD，H為C₁G的中點，應用空間向量方法求解下列問題.

(1)求證:EF⊥B₁C;

(2)求EF與C₁G所成的角的余弦值;

(3)求FH的長.

Answer 1

解：如圖,建立空間直角坐標系D—xyz,D為坐標原點,則有E(0,0,)、F（，，0）、C（0，1，0）、C₁（0，1，1）、B₁（1，1，1）、G（0，，0）.

?

(1)=( ,,0)-(0,0, )=(,,-),?

=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),?

∴·=×（-1）+×0+（-）×（-1）=0，?

∴⊥，即EF⊥B₁C.?

(2)∵=(0,,0)-(0,1,1)=(0,- ,-1)，?

∴||=.?

又·=×0+×（-）+（-）×（-1）=，||=，

∴cos〈,〉==.?

即異面直線EF與C₁G所成角的余弦值為.?

(3)∵F(,,0)、H（0，，），?

∴=（-，，），?

∴||==.

點評：本題主要是利用空間向量的基礎知識,證明異面直線垂直,求異面直線所成的角及線段的長度.應用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題,使復雜的線面關系的論證、角、距離的計算變得程序化.