Question

（09年湖南十二校理）（12分）

   如圖，已知在直四棱柱中，，

，．

   （I）求證：平面；

（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

解析：解法一：

（I）設是的中點，連結，則四邊形為正方形，．故，，，，即．.. 2分

又，                                               ………..3分

平面，                                                         …….5分

（II）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點, 連結，又，則．

取的中點，連結，則,.

為二面角的平面角．                                     ………8分

連結，在中，，，

取的中點，連結，，

在中，，，．                      ………..10分

．     

二面角的余弦值為．                                       ………..12分

解法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，,.    .. 2分

，,                                      ………..3分

     

又因為 所以，平面.                                ………..5分

（II）設為平面的一個法向量．

由，，

得    取，則．                               ……….7分

又，，設為平面的一個法向量，

由，，得取，則，       ……….9分

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

,                   ………..12分