Question

(本小題滿分12分) 已知函數在上是增函數，在上為減函數.

(Ⅰ)求的表達式；

(Ⅱ)若當時，不等式恒成立，求實數的值；

（Ⅲ）是否存在實數使得關于的方程在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，若存在，求實數的取值范圍.

Answer 1

(I)f(x)=(1+x)²-ln(1+x)²(II)m＞e²-2（Ⅲ）當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件

解析:

(I)∵f′(x)=2(1+x)-=2·,

依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數，在（-∞,-2)上為減函數.∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.

代入方程解得a=1,

故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)²        ----------2分

(II)由于f′(x)=2(1+x)-=,

令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.

（由于x∈，故x₂=-2舍去），

易證函數在上單調遞減，

在［0，e-1］上單調遞增，

且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,

故當x∈時，f(x)_max=e²-2,

因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可     ----------------6分

（III）若存在實數b使得條件成立，

方程f(x)=x²+x+b

即為x-b+1-ln(1+x)²=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,

則g′(x)=1-=,

令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,

令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,

故g(x)在［0，1］上單調遞減，在［1，2］上單調遞增，要使方程f(x)=x²+x+b在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3, （高考*資源網-供稿）

故存在這樣的實數b,當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件   ------12分