Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB₁，BC₁的中點，則以下結論不成立的是

①④

．
①EF與A₁C₁異面
②EF與BB₁垂直
③EF與BD垂直
④EF與CD垂直．

Answer 1

分析：連接A₁B，根據正方形對角線互相平分及三角形中位線定理，可得EF∥A₁C₁，進而判斷①
根據正方體的幾何特征，線面垂直的性質及異面直線夾角的定義，可判斷②
根據正方形的對角線互相垂直，結合平行公理及①中結論，可判斷③
根據異面直線夾角的定義，及①中結論，可判斷④

解答：解：連接A₁B，易得A₁B過E點，且E為A₁B的中點，則EF∥A₁C₁，故①不成立；
由正方體的幾何特征可得B₁B⊥面A₁B₁C₁D₁，又由A₁C₁?面A₁B₁C₁D₁，可得B₁B⊥A₁C₁，由①可得EF與BB₁垂直，即②成立；
由正方形對角線互相垂直可得AC⊥BD，∵EF∥A₁C₁，AC∥A₁C₁，∴EF∥AC，則EF與BD垂直，即③成立；
由①③中結論，EF∥AC，則∠ACD即為異面直線EF與CD所成的角，由∠ACD=45°，故EF與CD垂直，即④不成立
故答案為：①④

點評：本題考查異面直線的判定，考查空間想象能力，是基礎題．