Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），當x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）時，f（x）＞0，當x∈（-2，0）時，f（x）＜0，且對任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設函數F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在時的最大值H（t）；
（III）在（II）的條件下，若關于的函數y=log₂[p-H（t）]的圖象與直線y=0無公共點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知得a＞0，且-2和0為方程ax²+bx+c=0的兩根，故可設f（x）=ax（x+2），利用f（x）≥（a-1）x-1恒成立，求出a的值．
（II）由題意，分情況討論F（x）在時的最大值H（t）．當t=0時，F（x）是單調函數，可求最大值；當t＞0時，利用二次函數求最值的方法，分類討論；
（III）由題意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1無解，即[p-H（t）]_max＞0，且1不在[p-H（t）]值域內，故問題得解．
解答：解：（I）由已知得a＞0，且-2和0為方程ax²+bx+c=0的兩根，∴可設f（x）=ax（x+2），又由f（x）≥（a-1）x-1恒成立得（a-1）²≤0，∴a=1，∴f（x）=x²+2x
（II）F（x）=tf（x）-x-3=tx²+（2t-1）x-3（t≥0），以下分情況討論F（x）在時的最大值H（t）
（1）當t=0時，F（x）=-x-3在時單調遞減，；
（2）當t＞0時，F（x）圖象的對稱軸方程為．∵，∴只需比較的大小
，F（x）_max=8t-5；
，
綜上可得
（III）由題意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1無解，即[p-H（t）]_max＞0，且1不在[p-H（t）]值域內
由（II）可知H（t）的最小值為，即-H（t）的最大值為，∴，∴
點評：本題考查代入法求函數的解析式，考查了二次函數在定區間上的最值問題，考查恒成立問題的處理，屬中檔題．