Question

（05年福建卷）（12分）

已知方向向量為的直線l過點（0，－2）和橢圓C：的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足，

cot∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)由題意可得直線ι：,     ①

過原點垂直ι的方程為             ②

解①②得x=.∵橢圓中心O(0,0)關于直線ι的對稱點在橢圓C的右準線上,

∴.∵直線ι過橢圓焦點,∴該焦點坐標為(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故橢圓C的方程為.       ③

(Ⅱ)設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),當直線m不垂直x軸時,直線m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,則x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

點O到直線MN的距離d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

當直線m垂直x軸時,也滿足

故直線m的方程為或y=或x=-2.

經檢驗上述直線均滿足.

所在所求直線方程為或y=或x=-2..