Question

(本小題滿分12分) 在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，點在底面上的射影恰是中點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）當側棱和底面成角時， 求
（Ⅲ）若為側棱上一點，當為何值時，．

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）

本試題主要考查了同學們的空間想象能力和邏輯推理能力及計算能力的綜合運用。對于空間中點線面的位置關系的研究和靈活的運用。
（1）中利用線面垂直的性質定理得到
（2）中，分析棱錐的底面積和高度，可以得到體積。
（3）中，結合三垂線定理和中心的位置關系得到結論。
解法一：（Ⅰ）連結AO，∵A₁O⊥面ABC，AO⊥BC．∴A₁A⊥BC．     
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°      3分
由底面是邊長為2的正三角形，可知AO=3
∴A₁O=3，AA₁=3
4                          7分
（Ⅲ）過D作DF∥A₁O，交AO于F，則DF⊥平面ABC．
∴BF為BD在面ABC內的射影，
又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即證BF⊥AC，
∴F為△ABC的中心，∴     12分