Question

已知S_n是等比數列{a_n}的前n項和，且S₃=

3

2

，S₆=

21

16

，b_n=λa_n-n²．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}是單調遞減數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比數列的求和公式列方程可求得q，從而可得數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）由于b_n=2λ(-

1

2

)n-1-n²，數列{b_n}單調遞減，b_n+1＜b_n，可得6λ(-

1

2

)n＜2n+1對任意n∈N^*恒成立，對n分奇數與偶數討論即可求得實數λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵S₃=

3

2

，S₆=

21

16

，
∴q≠1，
∴

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，
得：1+q³=

7

8

，
∴q=-

1

2

，a₁=2．
∴a_n=2×(-

1

2

)n-1．
（Ⅱ）∵b_n=λa_n-n²，
∴b_n=2λ(-

1

2

)n-1-n²，
由題意可知對任意n∈N^*，數列{b_n}單調遞減，
∴b_n+1＜b_n，
即2λ(-

1

2

)n-（n+1）²＜=2λ(-

1

2

)n-1-n²，
即6λ(-

1

2

)n＜2n+1對任意n∈N^*恒成立，
當n是奇數時，λ＞-

(2n+1)2n

6

，當n=1時，-

(2n+1)2n

6

取得最大值-1，故λ＞-1；
當n是偶數時，λ＜

(2n+1)2n

6

，當n=2時，

(2n+1)2n

6

取得最小值

10

3

，故λ＜

10

3

．
綜上可知，-1＜λ＜

10

3

，即實數λ的取值范圍是（-1，

10

3

）．

點評：本題考查等比數列的性質，考查數列的函數特性，在（Ⅱ）中，求得“6λ(-

1

2

)n＜2n+1對任意n∈N^*恒成立”是關鍵，也是難點，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．