Question

設函數的圖像關于原點對稱，且時，取極小值。

（1）求，，，的值；

（2）當時，圖像上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論。

（3）若，求證：。

Answer 1

解：（1）∵函數圖像關于原點對稱

 ∴對任意實數，有

∴

即恒成立，∴。

∴，

∵時，取極小值，∴，

∴。

（2）當時，圖像上不存在這樣的兩點使結論成立。

假設圖像上存在兩點使得過此兩點處的切線互相垂直，

則由知兩點處的切線斜率分別為

且      （*）

∵，∴與（*）矛盾。

（3）∵，令得，

∵時，，

時，。

∴在上是減函數，且；，

∴在上，

∵時，

。