已知橢圓
的方程為
，點
的坐標滿足
過點
的直線
與橢圓交于
、
兩點，點
為線段
的中點，求：
（1）點的軌跡方程；
（2）點的軌跡與坐標軸的交點的個數．
（Ⅰ）
（Ⅱ）當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）
當a=0且
，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）
同理，當b=0且
，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）
當
且
，即點P（a，b）在橢圓C內且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）
（1）設點
、
的坐標分別為
、
，點
的坐標為
．當
時，設直線
的斜率為
，則的方程為
由已知
（1）
（2）
由（1）得
， （3）
由（2）得
， （4）
由（3）、（4）及
，
，
，
得點Q的坐標滿足方程
（5）
當
時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為（a，0）顯然點Q的坐標滿足方程（5）
綜上所述，點Q的坐標滿足方程
設方程（5）所表示的曲線為L，
則由
得
因為
，由已知
，
所以當
時，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點P（a，b）
當
時，△＜0，曲線L與橢圓C沒有交點
因為（0，0）在橢圓C內，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內
故點Q的軌跡方程為
（2）由
解得曲線L與y軸交于點（0，0），（0，b）
由
解得曲線L與x軸交于點（0，0），（a，0）
當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）
當a=0且
，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）
同理，當b=0且
，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）
當
且
，即點P（a，b）在橢圓C內且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
已知橢圓
的方程為
，點P的坐標為（-a，b）.
（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足
,求點
的坐標；
（2）設直線
交橢圓于
、
兩點，交直線
于點
.若
，證明：為
的中點；
（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點
、
滿足
,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知橢圓
的方程為
，點P的坐標為（-a，b）.
（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足
,求點
的坐標；
（2）設直線
交橢圓于
、
兩點，交直線
于點
.若
，證明：為
的中點；
（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點
、
滿足
,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知橢圓
的方程為
，點P的坐標為（-a，b）.
（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足
,求點
的坐標；
（2）設直線
交橢圓于
、
兩點，交直線
于點
.若
，證明：為
的中點；
（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點
、
滿足
,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.
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科目：高中數學 來源：2014屆山東省聊城市高二第四次模塊檢測理科數學卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
的方程為
，點P的坐標為（-a，b）.
（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足
,求點
的坐標；
（2）設直線
交橢圓于
、
兩點，交直線
于點
.若
，證明：為
的中點；
（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點
、
滿足
,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.
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