Question

已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN∥平面α．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)若AB、CD在同一平面內，則平面ABDC與α、β的交線為AC、BD． 　　∵α∥β，∴AC∥BD． 　　又M、N為AB、CD的中點，∴MN∥BD． 　　又BD平面α，∴MN∥平面α． 　　(2)若AB、CD異面，如圖，過A作AE∥CD交α于E，取AE的中點P，連結MP、PN、BE、ED． 　　∵AE∥CD，∴AE、CD確定平面AEDC． 　　則平面AEDC與α、β的交線為ED、AC， 　　∵α∥β，∴AC∥ED． 　　又P、N為AE、CD的中點， 　　∴PN∥ED．∴PN∥α． 　　同理可證MP∥BE． 　　∴MP∥α．∴平面MPN∥α． 　　又MN平面MPN，∴MN∥α．

提示：

分AB、CD是否共面兩種情況．