Question

設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．考查下列命題，其中不正確的命題有

①③④

．（填上所有符合條件命題的序號）
①m⊥α，n?β，m⊥n⇒α⊥β；      ②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n；
③α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n；       ④α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β．

Answer 1

分析：若m⊥α，n?β，m⊥n時，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；
α∥β，m⊥α，n∥β時，m與n一定垂直；
若α⊥β，m⊥α，n∥β時，m與n可能相交或異面，不一定垂直，
α⊥β，α∩β=m時，與線面垂直的判定定理比較缺少條件n?α，則n⊥β不一定成立．

解答：解：設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則：
m⊥α，n?β，m⊥n時，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故①不正確
α∥β，m⊥α，n∥β時，m與n一定垂直，故②正確
α⊥β，m⊥α，n∥β時，m與n可能相交或異面，不一定垂直，故③錯誤
α⊥β，α∩β=m時，若n⊥m，n?α，則n⊥β，但題目中無條件n?α，故④也不一定成立，
故答案為：①③④．

點評：本題主要涉及到線面平行或垂直的判斷以及線線關系的判斷．判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．