Question

等邊三角形ABC的邊長為2沿平行于BC的線段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，設點A到直線PQ的距離為x，AB的長為d．
（Ⅰ）x為何值時，d²取得最小值，最小值是多少；
（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．

Answer 1

分析：（I）如圖（1）為折疊前對照圖，圖（2）為折疊后的空間圖形．利用面面垂直和線面垂直的判定與性質定理和二次函數的單調性即可得出；
（II）在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如圖（1）為折疊前對照圖，圖（2）為折疊后的空間圖形．
∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，
∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．
在Rt△BRD中，BR²=BD²+RD²=1+(

3

-x)2，
AR²=x²．
故d²=BR²+AR²=2x2-2

3

x+4(0＜x＜

3

)．
∴當x=

3

2

時，d²取得最小值

5

2

．
（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，
∴在等腰△ADC中，由余弦定理得cosθ=

2d2-22

2d2

，即cosθ=1-

4

2d2

，
∴當d2=

5

2

時，cosθ取得最小值

1

5

．

點評：本題考查了面面垂直和線面垂直的判定與性質定理和二次函數的單調性、余弦定理和余弦函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．